Question

（2013•奉贤区二模）三阶行列式D=

.

2x 0 5x-2 0 b 3 1 3 x

.

，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x），P={x|H（x）≤0}，
（1）求集合P；
（2）函数f(x)=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）三阶行列式D=

.

2x 0 5x-2 0 b 3 1 3 x

.

，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；
（2）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值即可．

解答：解：（1）H(x)=+

.

2x 5x-2 1 x

.

=2x²-5x+2≤0（3分），
∴P={x|

1

2

≤x≤2}（7分）
（2）若P∩Q≠∅，则说明在[

1

2

，2]上至少存在一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0成立，（8分）
即在[

1

2

，2]上至少存在一个x值，使a＞

2

x

-

2

x2

成立，（9分）
令u=

2

x

-

2

x2

，则只需a＞u_min即可．                                    （11分）
又u=

2

x

-

2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
当x∈[

1

2

，2]时，

1

x

∈[

1

2

，2]，u∈[-4，

1

2

]，umin=-4，
从而u_min=-4（14分）
由（1）知，u_min=-4，
∴a＞-4．（14分）

点评：本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题．