Question

中国篮球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制，当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元，以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元．当两队决出胜负后，求：
（1）组织者至少可以获得多少票房收入？
（2）决出胜负所需比赛场次的均值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析可得分出胜败至少要4局，由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a），计算可得答案；
（2）根据题意，要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望，可以设两队为甲队、乙队，
再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ，分析可得ξ可取的值为4、5、6、7，分别计算ξ=4、5、6、7时的概率，进而由期望计算公式计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，采用七局四胜制，分出胜败至少要4局，
则此时组织者可以获得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a万元，
即组织者至少可以获得18a万元的票房收入；
（2）根据题意，两支球队的实力水平相当的球队，设两队为甲队、乙队，且甲队、乙队每局取胜的概率为

1

2

；
设决出胜负所需比赛场次的值为ξ，则ξ可取的值为4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出胜负，包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况，则P（ξ=4）=2×（

1

2

）⁴=

1

8

；
ξ=5，即5局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₄³×（

1

2

）⁴×

1

2

=

1

8

，同理乙取胜的概率为

1

8

，
则P（ξ=5）=2×

1

8

=

1

4

，
ξ=6，即6局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₅³×（

1

2

）⁵×

1

2

=

5

32

，同理乙取胜的概率为

5

32

，
则P（ξ=6）=2×

5

32

=

5

16

，
ξ=7，即7局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₆³×（

1

2

）⁶×

1

2

=

5

32

，同理乙取胜的概率为

5

32

，
则P（ξ=7）=2×

5

32

=

5

16

，
决出胜负所需比赛场次的均值为4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

；
故决出胜负所需比赛场次的均值为

93

16

．

点评：本题考查离散变量的期望的计算，注意（2）中要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望．