Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）判断直线l和圆C的位置关系；
（2）若直线l和圆C相交，求相交弦长最小时m的值．

Answer 1

分析：（1）将直线l化简，得m（2x+y-7）+x+y-4=0，算出它经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M（3，1），而M恰好是圆C内一个定点，由此可得直线l和圆C相交；
（2）当直线l到圆心的距离达到最大值时，相交弦长最小．由垂径定理得此时直线l与CM互相垂直，由此建立关于m的方程，解之即可得到相交弦长最小时m的值．

解答：解：（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化简得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直线l经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M（3，1）
又∵（3-1）²+（1-2）²＜25，
∴点E（3，1）在圆C的内部，可得直线l和圆C相交；
（2）假设直线l和圆C相交于点E，F，由相交弦长公式|EF|=2

25-d2

，
其中d为圆心C到直线l的距离，
根据垂径定理，当d最大时相交弦长最小，而由（1）知，
直线l过定点M（3，1），所以dmax=|CE|=

5

，
即CE⊥l，根据CE的斜率kCE=

2-1

1-3

=-

1

2

，
可得相交弦长最小时，l的斜率kl=-

2m+1

m+1

=2，解之得m=-

3

4

．

点评：本题给出动直线，判断直线与圆的位置关系并求直线被圆截得弦长的最小值．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．