Question

（2013•湖州二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点N关于x轴的对称点为N₁，且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由圆D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）．在椭圆中c=3或c=1，又b²=3，得到a²=12或a²=4（舍去，因为a＞

10

）．即可得到椭圆的方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则N₁（x₂，-y₂）．直线l的方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，对于直线N₁M的方程

y-y1

-y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，令y=0，即可得到点P的坐标；
解法一：利用三角形的面积计算公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

，把根与系数的关系代入，再利用基本不等式的性质即可得出m的取值与三角形PMN的最大值．．
解法二：利用弦长公式=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

，及点P到直线l的距离公式求出点P到直线MN的距离d，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题设知，圆D：（x-2）²+y²=1，令y=0，
解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）．
所以，在椭圆中c=3或c=1，又b²=3，
所以，a²=12或a²=4（舍去，因为a＞

10

）．
于是，椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则N₁（x₂，-y₂）．
联立方程

x2 12 + y2 3 =1 x=my+3

⇒（m²+4）y²+6my-3=0，
所以y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
因为直线N₁M的方程为

y-y1

-y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，令y=0，
则x=

y1(x2-x1)

y2-y1

+x1=

y1x2-y2x1

y1+y2

=

2my1y2+3(y1+y2)

y2+y1

=

-6m m2+4 - 18m m2+4

-6m m2+4

=

-24m

-6m

=4，
所以得点P（4，0）．
解法一：S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

•

36m2 (m2+4)2 + 12 (m2+4)

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3•

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

•

1 12

=1．

当且仅当m²+1=3即m=±

2

时等号成立．
故△PMN的面积存在最大值1．
（或：S△PMN=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

- 1 (m2+4)2 + 1 m2+4

．
令t=

1

m2+4

∈(0 ， 

1

4

]，
则S△PMN=2

3

•

-3t2+t

=2

3

•

-3(t- 1 6 )2+ 1 12

≤1．
当且仅当t=

1

6

∈(0 ， 

1

4

]时等号成立，此时m²=2．
故△PMN的面积存在最大值为1．
解法二：|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)[ 36m2 (m2+4)2 + 12 m2+4 ]

=4

3

•

m2+1

m2+4

．
点P到直线l的距离是

|4-3|

m2+1

=

1

m2+1

．
所以，S△PMN=

4 3

2

•

1

m2+1

•

m2+1

m2+4

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

•

-3( 1 m2+4 )2+ 1 m2+4

．
令t=

1

m2+4

∈(0 ， 

1

4

]，
则S△PMN=2

3

•

-3t2+t

=2

3

•

-3(t- 1 6 )2+ 1 12

≤1．
当且仅当t=

1

6

∈(0 ， 

1

4

]时等号成立，此时m²=2．
故△PMN的面积存在最大值为1．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．