Question

在三棱柱ABC—A′B′C′中，侧面CBB′C′，底面ABC，∠B′BC=60°,∠ACB=90°,且CB=CC′=CA.

(1)求证：平面AB′C⊥平面A′C′B；

(2)求异面直线A′B与AC′所成的角.

Answer 1

思路分析：本题第一问，要证明面面垂直，可以依据面面垂直的判定定理来考虑，先证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面，而要证明一条直线垂直于一个平面，可以去证明这条直线垂

直于另外一个平面内的两条相交直线，转而证明相关的向量相互垂直，从而达到目的；第二问，可以转而去求相关的向量所成的角.

解：建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=2a，

则A（0，2a,0),B(-2a,0,0),B′(-a,0,),C′(a,0,),A′(a,2a,).

则=(a,-2a,), =(-3a,-2a,),=(-a,-2a,),=(3a,0,), =(-a,0,),

(1)∵·=0,·=0,

∴BC′⊥CB′,BC′⊥AB′.∴BC′⊥平面AB′C.

又BC′平面A′C′B,∴平面AB′C⊥平面A′C′B.

(2)∵·=-2a²,||=4a,||=,

∴cos〈，〉=.

∴异面直线A′B与AC′所成的角为π-arccos.