Question

（13分）已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于x轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点．

（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

Answer 1

（13分）

解：（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不得0，

则可设直线的方程为（），，，

由消去，得，显然.

所以，.  ………………………………………………2分

由，得，所以，

所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，又，

所以，直线的方程为  ①。………………………………4分

同理，直线的方程为  ②。………………………………5分

②-①并据得点M的横坐标，

即，，三点的横坐标成等差数列。   …………………………………7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）()。

所以，

则直线MF的方程为，   …………………………………………8分

设C(x3,y3),D(x4,y4)

由消去，得，显然，

所以，。     …………………………………………9分

又

。…………10分

。……………………11分

因为，所以 ，    

所以，，

当且仅当时，四边形面积的取到最小值。……………………13分