Question

已知函数f(x)=x2+

k

x

(x≠0， k为常数)，
（1）若k=-1，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由k=-1，我们可以求出函数的解析式，进而求出其导函数的解析式，分析导函数在x∈（0，+∞）时的符号，可得答案．
（2）当k=0时，f（x）=f（-x），根据函数奇偶性的定义可得此时函数为偶函数，当k≠0时，f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x），根据函数奇偶性的定义可得此时，函数为非奇非偶函数．

解答：证明：（1）若k=-1，
则f(x)=x2-

1

x

则f′(x)=2x +

1

x2

当x∈（0，+∞）时
f′（x）＞0恒成立
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
解：（2）当k=0时，函数为偶函数，当k≠0时，函数为非奇非偶函数，
理由如下：
当k=0时，f（x）=x²，f（-x）=x²
∵f（x）=f（-x）
∴当k=0时，函数为偶函数
当k≠0时，f(x)=x2+

k

x

，f(-x)=x2-

k

x

∵f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x）
∴当k≠0时，函数为非奇非偶函数

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中（1）的关键是求出函数导函数的解析式，（2）的关键是熟练掌握函数奇偶的定义．