Question

设O点为坐标原点,曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0.

(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

Answer 1

解:(1)曲线方程为(x+1)²+(y-3)²=9,表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.

∵点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,

∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得m=-1.

(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,

∴设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),PQ方程为y=-x+b.

将直线y=-x+b代入圆方程,得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0,

得2-3＜b＜2+3,由韦达定理,得x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=,

y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b,∵·=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0,即b²-6b+1+4b=0.

解得b=1∈(2-3,2+3).∴所求的直线方程为y=-x+1.