Question

设，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点

作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点

G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；     (6分)

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得

△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具

体求出这些点的坐标）。(8分)

Answer 1

（本题满分14分）

由得 

          当时，，G点的坐标为（4，b＋2）

     法一：GF的斜率，方程为

联立与消去，由得

    法二： 过点G的切线方程为整理得， ，

         令y＝0得  ，点的坐标为 （2-b，0）；

       由椭圆方程得点的坐标为（b，0），

         即 b＝1，

   因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和。

 （2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,

      以为直角的只有一个;

      同理以为直角的只有一个;

     若以为直角, 设P点的坐标为，则A、B坐标分别

为、

      由得，

     关于的一元二次方程有一解，x有二解，即以为直角的有二个;

     因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形。