Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R）．当0＜a＜

1

2

时，f（sinx）（x∈R）的最大值为

5

4

，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：先由题中条件：“0＜a＜

1

2

”得出二次函数的对称轴的位置，从而得出f（sinx）（x∈R）在什么位置取得最大值，从而求得a值，最后利用二次函数的性质求得f（x）的最小值即可．

解答：解：由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1
故当sinx=1时f（x）取得最大值为

5

4

，
即f(1)=a+1=

5

4

；
∴a=

1

4

；
∴f(x)=

1

4

x2+x=

1

4

(x+2)2-1，
所以f（x）的最小值为-1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．