Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是

AC

的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD²-DE²=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

Answer 1

分析：（I）由D是

AC

的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD²=DE×DB，进而得到CD²-DE²=AE×EC
（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小

解答：解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴

DE

DC

=

DC

DB

，
∴CD²=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE²+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD²-DE²=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=

1

2

∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）

点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明△BCD∽△CED，（2）的关键是求出△ODC为等边三角形．