Question

如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析 (2)3

【解析】

(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.

因为CA=CB,所以OC⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,

故△AA1B为等边三角形,

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O,

所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.

(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.

又A1C=,则A1C2=OC2+O,故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABCA1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.