Question

f(x)=sin2(3π+x)-

3

sinxsin(

3π

2

+x)+2cos2x，x∈R，求f（x）的最小正周期和它的单调增区间．

Answer 1

分析：利用平方关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数的最小正周期，通过正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．

解答：解：f(x)=sin2(3π+x)-

3

sinxsin(

3π

2

+x)+2cos2x
=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x
=1+

3

sinxcosx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
所以函数的正确为：

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
所以函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的正确的求法，二倍角与两角和的正弦函数的应用，单调增区间的求法，考查计算能力．