Question

定义在R上的单调增函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立
（1）求f（0）的值
（2）求证：f（x）为奇函数
（3）若f（1+2^x）+f（t•3^x）＞0对x∈（-∞，1]恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，能求出f（0）．
（2）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）⇒f（-x）=-f（x），由此能够证明f（x）为奇函数．
（3）由f（t•3^x）＞-f（1+2^x），知f（t•3^x）＞f（-1-2^x），所以t•3^x＞-1-2^x，t＞-(

1

3

)x-(

2

3

)x恒成立，由此能求出t的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=0，
则f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（t•3^x）＞-f（1+2^x），
∴f（t•3^x）＞f（-1-2^x），
∴t•3^x＞-1-2^x
∴t＞-(

1

3

)x-(

2

3

)x恒成立，
而-(

1

3

)x-(

2

3

)x单调递增，
∴-(

1

3

)x-(

2

3

)x≤-1
从而t＞-1．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．