Question

已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围

Answer 1

解法一：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）===1
∵从而，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
设f（x）=x²+mx+m+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；
又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为，
故其图象满足

即
解得，
故所求m的范围是
解法二：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）===1
∵从而，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
则x²+mx+m+1=0得-m（x+1）=x²+1
即
=；
故所求m的范围是
分析：由tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的两个实根，结合韦达定理（一元二次方程根现系数关系）我们得到tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，代入两角和的正切公式，结合A、B是△ABC的两个内角，易得到A+B的大小，进而给出A，B的取值范围，进而得到方程两根的取值范围，后续有两种思路：
解法一：构造函数f（x）=x²+mx+m+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于m的不等式组可以求出满足条件的m的范围．
解法二：由x²+mx+m+1=0，将-m表示为=然后利用“对勾”函数的单调性进行解答．
点评：本题考查的知识点是函数的零点，韦达定理（一元二次方程根与系数关系），两角和的正切公式，其中利用韦达定理及两角和的正切公式，确定方程两个根的范围是解答的关键．