Question

已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围

Answer 1

分析：由tanA、tanB是方程x²+mx+m+1=0的两个实根，结合韦达定理（一元二次方程根现系数关系）我们得到tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，代入两角和的正切公式，结合A、B是△ABC的两个内角，易得到A+B的大小，进而给出A，B的取值范围，进而得到方程两根的取值范围，后续有两种思路：
解法一：构造函数f（x）=x²+mx+m+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于m的不等式组可以求出满足条件的m的范围．
解法二：由x²+mx+m+1=0，将-m表示为-m=

x2+1

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+2

x+1

=(x+1)+

2

x+1

-2[x∈(0，1)]然后利用“对勾”函数的单调性进行解答．

解答：解法一：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m++1)

=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

从而0＜A＜

π

4

，0＜B＜

π

4

，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
设f（x）=x²+mx+m+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；
又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=-

m

2

，
故其图象满足

f(- m 2 )≤0 f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- m 2 ＜1

即

- m2 4 +m+1≤0 m+1＞0 2m+2＞0 -2＜m＜0

解得-1＜m≤2-2

2

，
故所求m的范围是(-1，2-

2

]
解法二：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m++1)

=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

从而0＜A＜

π

4

，0＜B＜

π

4

，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x²+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
则x²+mx+m+1=0得-m（x+1）=x²+1
即-m=

x2+1

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+2

x+1

=(x+1)+

2

x+1

-2[x∈(0，1)]；
故所求m的范围是(-1，2-2

2

]

点评：本题考查的知识点是函数的零点，韦达定理（一元二次方程根与系数关系），两角和的正切公式，其中利用韦达定理及两角和的正切公式，确定方程两个根的范围是解答的关键．