Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅱ）求直线AD与PB所成角；
（Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意取PB的中点N，连接MN、CN，由中位线和题意证出CDMN是平行四边形，得到DM∥CN，由线面
平行的判定定理得DM∥平面PCB．
（Ⅱ）由题意取AD的中点G，连接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，
且∠DAB=60°得BG⊥AD，证出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB．
（Ⅲ）利用等体积法，找出其高和底，从而由体积公式求三棱锥P-MBD的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：取PB的中点为N，由于M为AP的中点，
可得MN为△PAB的中位线，故有MN∥AB，且MN=

1

2

AB．
再由AB∥CD，AB=AD=2CD=2，可得MN∥CD，且 MN=CD，
故MNCD为平行四边形，故有DM∥CN．
而CN?平面PBC，DM?平面PBC，故有DM∥平面PCB．
（Ⅱ）取AD的中点G，连接PG、GB、BD，∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB，∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB，
即AD与PB成的角为90°．
（Ⅲ）三棱锥P-MBD的体积 V_P-MBD=V_B-PMD
=

1

3

•S_△PMD•BG=

1

3

•（

1

2

S_△PAD）•BG=

1

3

×[

1

2

（

1

2

×

2

×

2

）]×

3

=

3

6

．

点评：本题主要考查了线面垂直和平行的判定定理的应用，主要用了中位线和等腰三角形的中线证明线线平行和垂直，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．