Question

【题目】设函数.

（1）已知函数,求的极值；

（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）化简，利用导数作为工具可求得其单调区间和极值；（2）化简，求导后对进行分类讨论，利用单调区间来求得实数的取值范围.

试题解析：

（1）由已知条件得, ,且函数定义域为,所以,令,得或,

随的变化如下表:

当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值.

（2）由条件, 得,且定义域为,,当时, 令有或.

①当时, 函数 在上单调递增, 显然符合题意.

②当, 即时, 函数在和上单调递增, 在上单调递减. 此时由题意, 知只需,解得,又,所以实数的取值范围是.

③当, 即时, 函数在和上单调递增, 在上单调递减, 要存在实数,使得当时, 函数的最大值为,则,代入化简得. 令,因恒成立, 故恒有时, 式恒成立; 综上，实数的取值范围是.