题目内容

（文）已知函数f（x）=（sin $数学公式$ ωx+cosωx）cosωx- $数学公式$ （ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

解：（1）∵f（x）=sin $\text{[math]}$ ωxcosωx+cos²ωx- $\text{[math]}$ =sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =4π，∴ω= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）．
由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，得 4kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤4kπ+ $\text{[math]}$ ，
故f（x）的增区间为[4kπ- $\text{[math]}$ ，4kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB= $\text{[math]}$ ，∴B= $\text{[math]}$ ．
∵f（A）=sin（ $\text{[math]}$ •A+ $\text{[math]}$ ），0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ •A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜f（A）＜1，函数f（A）的取值范围为（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）利用三角公式化简 f（x）的结果为sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），根据周期求出ω，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
求得f（x）的增区间．
（2）根据等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA，求出cosB，从而求得 B，得到f（A）=sin（ $\text{[math]}$ •A+ $\text{[math]}$ ），
0＜A＜ $\text{[math]}$ ，求出f（A）的取值范围．
点评：本题考查正弦函数的单调性、定义域、值域，三角公式、正弦定理的应用，
根据角的范围求三角函数值的范围是解题的难点．