Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

1

2

，过点F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F₁的直线m与椭圆E交于A、B两点，且使得F₂A⊥F₂B？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设过点F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段为MN，由题意可得点M的坐标，点M在椭圆上，以及离心率为

1

2

，a²=b²+c²，建立方程组，可求出a、b的值，从而得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）假设存在过点F₁的直线m与椭圆E交于A、B两点，且使得F₂A⊥F₂B，设直线m的方程为x=ny-1，联立直线m的方程与椭圆E的方程，根据F₂A⊥F₂B建立等式，可求出n的值，从而得到直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设过点F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段为MN，
由题意可知MN=3，则M（-c，

3

2

），e=

c

a

=

1

2

，即a=2c，①
∵M（-c，

3

2

）在椭圆上，
∴

(-c)2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，②
将①代入②解得b²=3，
∵a²=b²+c²，b²=3，a=2c，
∴a²=4，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假设存在过点F₁的直线m与椭圆E交于A、B两点，且使得F₂A⊥F₂B，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线m的方程为x=ny-1，
联立直线m的方程：x=ny-1与椭圆E的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
得

x=ny-1 3x2+4y2-12=0

，即（3n²+4）y²-6ny-9=0，
∴

y1+y2= 6n 3n2+4 y1y2= -9 3n2+4

，
∵

F2A

=（x₁-1，y₁），

F2B

=（x₂-1，y₂），F₂A⊥F₂B，
∴

F2A

•

F2B

=0，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又∵x₁=ny₁-1，x₂=ny₂-1，
∴（ny₁-2）（ny₂-2）+y₁y₂=0，
即（n²+1）y₁y₂-2n（y₁+y₂）+4=

-9n2-9

3n2+4

-

12n2

3n2+4

+4=0，
解得9n²=7，即n=±

7

3

．
∴直线m的方程：x=±

7

3

y-1即3x±

7

y+3=0．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．属于中档题．