题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^都有 $数学公式$ $数学公式$ …+ $数学公式$ ＜1成立，求p的取值范围．

解：（1）当n=1时，2pS₁=a₁²+pa₁，∴a₁=p，
∵2pS_n=a_n²+pa_n，∴n≥2时，2pS_n-1=a_n-1²+pa_n-1，
两式相减可得p（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=p
∴数列{a_n}是首项和公差都为p的等差数列
∴a_n=np；
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵对任意n∈N^*都有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ＜1成立，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≥1，即p≥2．
分析：（1）利用数列递推式确定首项，再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）利用裂项法可求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ＜1成立，即可求p的取值范围，求p的取值范围．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法的运用，属于中档题．