题目内容
要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为24500cm2四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告牌面积最小？并求出最小面积．
分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=12250①；且广告牌的高为a+20，宽为2b+25，广告牌的面积S=（a+20）（2b+25）②；由①②可以求得，S取最小值时a、b的值；和对应的广告牌高与宽的尺寸．
解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=12250①；
广告牌的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0，
广告牌的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=25000+40b+25a≥25000+2
=32000，
当且仅当25a=40b时，等号成立，此时b=
a，代入①式，得a=140，∴b=87.5；
即当a=140，b=87.5．时，S取得最小值32000；
故广告牌的高为160cm，宽为200cm时，可使广告牌的面积最小，最小值为32000cm2．
广告牌的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0，
广告牌的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=25000+40b+25a≥25000+2
| 40•25ab |
当且仅当25a=40b时，等号成立，此时b=
| 5 |
| 8 |
即当a=140，b=87.5．时，S取得最小值32000；
故广告牌的高为160cm，宽为200cm时，可使广告牌的面积最小，最小值为32000cm2．
点评：本题利用矩形的面积公式作载体，考查了基本不等式a+b≥2
（a＞0，b＞0）的应用，是基础题．
| ab |
练习册系列答案
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