Question

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）利用线线平行，则面面平行证明，即可得证；（Ⅱ）.

解析试题分析：（Ⅰ）先证明四边形为平行四边形得，又，所以平面平面；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，先求出平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，然后利用公式即可求出余弦值为，进而求出正切值.
试题解析：（Ⅰ）取的中点，的中点，连接.则，又平面平面，所以平面，同理平面，所以又易得，所以四边形为平行四边形，所以，

又，所以平面平面.             （6分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,，，，.

设平面的一个法向量是，则
，
令，得.                        （9分）
设平面的一个法向量是，则
令，得.
所以，
易知二面角为锐二面角，故其余弦值为，
所以二面角的正切值为.                （12分）
考点：1.平面与平面垂直的判定方法；2.二面角的求法.