Question

设二次函数f(x)=x²+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.

Answer 1

思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行.

证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于，则

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2.  ①

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2.  ②

①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.

方法归纳

    一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况.