题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c= $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

解：（1）∵A+B+C=180°，
∴ $\text{[math]}$ =90°- $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
整理得：4cos²C-4cosC+1=0，
解得： $\text{[math]}$ ，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab，
∴7=（a+b）²-3ab=25-3ab?ab=6，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式 $\text{[math]}$ ，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．