题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求f（x）在[ $数学公式$ ，2]上的最大值和最小值；（参考数据：ln2≈0.7）
（2）求证：ln $数学公式$ $数学公式$ ；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，都有 lnn $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ．

（1）解：求导函数，可得 $\text{[math]}$
∴x∈[ $\text{[math]}$ ，1]时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增
∴f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]上有唯一极小值点，且为最小值点，最小值为f（1）=0
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）在[ $\text{[math]}$ ，2]上的最大值为1-ln2；
（2）证明：当a=1时，f（x）= $\text{[math]}$ +lnx，f′（x）= $\text{[math]}$ ，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x= $\text{[math]}$ ，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +ln $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ +ln $\text{[math]}$ ＞0，即ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ；
（3）证明：由（2）知，ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，…，ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
∴ln $\text{[math]}$ +ln $\text{[math]}$ +…+ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
∴lnn＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；
（2）先判断函数f（x）的单调性，令x= $\text{[math]}$ 代入函数f（x）根据单调性，即可得到不等式ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可证．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．