Question

设函数f(x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）在(0，

π

2

)上的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f(A)=1，a=

7

，b=3，求c的值．

Answer 1

分析：（I） 利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，根据角的范围及函数的单调性求出函数的值域．
（II）由 f（A）=1 求得sin(2A-

π

6

)=1，根据-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

求出A=

π

3

，利用余弦定理求出c的值．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．∵x∈(0，

π

2

)，∴2x-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(2x-

π

6

)∈(-

1

2

，1]，即f（x）在(0，

π

2

)的值域为(-

1

2

，1]．
（II）由（I）可知，f(A)=sin(2A-

π

6

)，∴sin(2A-

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
∵a²=b²+c²-2bccosA，把a=

7

，b=3代入，得到c²-3c+2=0，∴c=1或c=2．

点评：本题考查两角和差的三角公式的应用，余弦定理，以及正弦函数的值域，求出角A的大小是解题的关键．