Question

（14分）已知函数f (x)=。

（1）若函数f (x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当=1时，求f (x)在[，2]上的最大值和最小值。

（3）求证：对于大于1的正整数n，。

Answer 1

（1）a≥1（2）最大值和最小值分别为1-ln2和0

解析:

（1）f ′(x)=  依题≥0在[1，+∞）上恒成立

即a≥在[1，+∞）上恒成立，∴a≥1

（2）当a=1时，f ′(x)=，其中x∈[,2]， 而x∈[,1)时，f ′(x)<0；x∈(1,]时，f ′(x)>0， ∴x=1是f (x)在[，2]上唯一的极小值点，∴ [f (x)]_min=f (1)=0又f ()-f (2)=-2ln2=>0，∴f ()>f (2)，

 ∴[f (x)]_max=f ()=1-ln2

综上，a=1时，f (x)在[，2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0

（3）若a=1时，由（1）知f (x)=在[1，+∞）上为增函数，

当n>1时，令x=，则x>1，故f (x)>f (1)=0，

即f ()=+ln=-+ln>0，∴ln>