Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）已知f（a）=3，且a∈（0，π），求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin2x+2×+1=sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+）+2．
所以最小正周期为：T==π
由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得．
∴函数f（x）的单调增区间为 （k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=3，得2sin（2a+）+2=3．
∴sin（2a+）=．
∴或，
即a=k₁π或．
∵a∈（0，π），
∴a=．
分析：（I）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间
（II）将a代入f（x），利用f（a）=3列出三角方程，结合正弦函数的图象和性质及a∈（0，π），解这个方程即可
点评：本题考查了三角变换公式的运用，三角函数的周期性、单调性，简单三角不等式的解法