Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}，
(Ⅰ)当a∈(-∞，-2)时，求证：aM；
(Ⅱ)当a∈(0，]时，求证：a∈M；
(Ⅲ)当a∈(，+∞)时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：(Ⅰ)如果a＜-2，则|a₁|=|a|＞2，aM。 
(Ⅱ)当0＜a≤时，|a_n|≤(n≥1)。
事实上，①当n=1时，|a_n|=|a|≤；
②设n=k时成立(k∈N*)，
则当n=k+1时，，
由①，②可知，对任意n∈N*，，所以，a∈M。
(Ⅲ)当时，aM，证明如下：
对于任意n≥1，且，
对于任意n≥1，
，
则，
所以，，
当时，，
即，因此aM。