Question

有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．

（Ⅰ）证明 （，是的多项式），并求的值；

（Ⅱ）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．

（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式

成立的所有的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知．

，

同理，，，…，

      ．

又因为成等差数列，所以.

故，即是公差为的等差数列．

所以，．

令，则，此时． …………4分

（Ⅱ）当时，．

数列分组如下：．

按分组规律，第组中有个奇数，

所以第1组到第组共有个奇数．

注意到前个奇数的和为，

所以前个奇数的和为.

即前组中所有数之和为，所以．

因为，所以，从而 ．

所以 .

.

故

.

所以 ．                 …………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.

故不等式 就是．

考虑函数．

当时，都有，即．

而，

注意到当时，单调递增，故有.

因此当时，成立，即成立．

所以,满足条件的所有正整数．     …………………………14分