Question

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1，5]=1，[-1，3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则
（1）a₂=

2

；
（2）式子

an+90

n

的最小值为

13

．

Answer 1

分析：（1）根据[x]表示不超过x的最大整数，先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到a₂的值．
（2）由（1）可得到 a_n+90n，用基本不等式并结合n为正整数，即可求出式子

an+90

n

的最小值．

解答：解：（1）由题意可得[x]=

0 ， x∈[0 ，1) 1 ，x∈[1 ，2) … n-1 ， x∈[n-1 ，n)

，∴x•[x]=

0  ，x∈[0 ，1) x ，x∈[1 ，2) 2 x，x∈[2 ，3) … (n-1)x ，x∈[n-1 ，n)

，
∴[x•[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+1+2+…+（n-1）=

n2-n+2

2

，∴a₂=2，
故答案为 2．
（2）式子

an+90

n

=

n2-n+2 2 +90

n

=

n

2

+

91

n

-

1

2

≥2

91 2

-

1

2

，当且仅当n=

182

时，等号成立．
由于n为正整数，故当n=13，或 n=14时，式子

an+90

n

 取得最小值．
当n=13时，式子

an+90

n

=

13

2

+

91

13

-

1

2

=13，当n=14时，式子

an+90

n

=

14

2

+

91

14

-

1

2

=13，
故式子

an+90

n

的最小值为 13．
故答案为 13．

点评：本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，属于中档题．