Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：

a1+2a2+3a3+…+nan

n

=

(a1+1)an

3

(n∈N*)
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜测a_n的表达式并给予证明；
（II）求证：sin

π

an

≥

2

an

；
（III）设数列{sin

π

anan+1

}的前n项和为Sn，求证：

1

3

＜Sn＜

π

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜想：a_n=n+1（n∈N^*），再用用数字归纳法证明．
（Ⅱ）构造函数f(x)=sinx-

2

π

x(0＜x＜

π

2

)，求导，利用y=cosx的单调性知f（x）在(0，

π

2

]内有且只有一个极大值点，从而可证；
（III）由Sn=sin

π

2•3

+sin

π

3•4

+…+sin

π

(n+1)•(n+2)

，结合sin

π

anan+1

＞

2

anan+1

，利用裂项求和＞2(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=2(

1

2

-

1

n+2

)≥

1

3

，可得对一切n∈N*，Sn＞

1

3

．利用在(0，

π

2

)内sinx＜x，可证右边．

解答：解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜测：a_n=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a₁=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=k+1
由条件a1+2a2+3a3+…+nan=

n(an+1)an

3

∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

(n-1)(an-1+1)an-1

3

(n≥2)
两式相减得：nan=

n(an+1)an

3

-

(n-1)(an-1+1)an-1

3

则当n=k+1时，(k+1)ak+1=

(k+1)(ak+1+1)

3

-

k(ak+1)ak

3

?

a

2 k+1

-2ak+1-k(k+2)=0∴a_k+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N^*，a_n=n+1成立
（Ⅱ）设f(x)=sinx-

2

π

x(0＜x＜

π

2

)
由f′(x)=cosx-

2

π

=0?x=arccos

2

π

由y=cosx的单调性知f（x）在(0，

π

2

]内有且只有一个极大值点，
且f(0)=f(

π

2

)=0∴在(0，

π

3

)内f(x)＞0
即sinx＞

2

π

x(0＜x＜

π

2

)．
令x=

π

an

，当n≥2时有

π

an

∈(0，

π

2

)，∴sin

π

an

＞

2

an

又当n=1时，

π

an

=

π

2

，∴sin

π

an

=

2

an

∴sin

π

an

≥

2

an

(n∈N*)
（Ⅲ）∵a_na_n+1≥6，∴

1

anan+1

∈(0，

π

2

)
由（Ⅱ）可知sin

π

anan+1

＞

2

anan+1

∴Sn=sin

π

2•3

+sin

π

3•4

+…+sin

π

(n+1)•(n+2)

＞2(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=2(

1

2

-

1

n+2

)≥

1

3

即对一切n∈N*，Sn＞

1

3

．
又∵在(0，

π

2

)内sinx＜x∴Sn=sin

π

2•3

+sin

π

3•4

+…+sin

π

(n+1)•(n+2)

＜π(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=π(

1

2

-

1

n+2

)＜

π

2

即对一切n∈N*，Sn＜

π

2

．∴

1

3

＜Sn＜

π

2

．

点评：本题主要考查数列与不等式的综合，考查放缩法的思想的运用．综合性强