Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0．则当n∈N^*时，有

1. A.
   f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
2. B.
   f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
3. C.
   f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
4. D.
   f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

Answer 1

C
分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可等有“x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（-∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为减函数，
由n+1＞n＞n-1＞0，可得结论．
解答：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0
∴x₂＞x₁时，f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0]为增函数
∵f（x）为偶函数
∴f（x）在（0，+∞）为减函数
而n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＜f（n）＜f（n-1）
∴f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
故选C．
点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．