Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=

2an

，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）先确定函数y=f（x）的解析式，利用点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，求出S_n，进而可求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）先确定{nb_n}的通项，利用错位相减法可求前n项和．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，
∴f（x）=-x²+7x
∵点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上
∴Sn=-n2+7n
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∵Sn=-n2+7n=-(n-

7

2

)2+

49

4

∴n=3或4时，S_n的最大值为12；
（2）b_n=

2an

=2^-n+4，∴nb_n=n•2^-n+4=16n•

1

2n

∴{nb_n}的前n项和为S_n=16（1•

1

2

+2•

1

22

+…+n•

1

2n

）
∴

1

2

S_n=16[1•

1

22

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

]
∴两式相减可得

1

2

S_n=16（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

）=16（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）
∴S_n=32（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）

点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与最值，考查数列的求和，正确求出数列的通项是关键．