Question

【题目】已知数列满足：对于任意且时，，．

（1）若，求证：为等比数列；

（2）若．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①，②.

【解析】试题分析：

(1)由等比数列的定义可证得为常数 ，则为等比数列；

(2)由题意累加可得

(3)假设存在实数k，得到关于k的不等式组，求解不等式组可得存在满足题意.

试题解析：

（1）当时，且

∴为常数

∴为等比数列

（2）①当时，

∴

…………

∴

∵ ∴

又满足上式，所以．

② 假设存在满足条件的，不妨设，

∴ （*）

∴

∴ 即

由（1）得且 ∴ ∴

若，代入（*），解得：（舍）

∴即 ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴可取

代入（*）检验，解得：

∴存在满足题意．