题目内容

已知f(x)=
x
，g(x)=x+a(a＞0)，设F(x)=
ag(x)-f(x)
f(x)

（1）当a=4时，求F（x）的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范围．
（1）当a=4时，F(x)═
4x+16-
x
x
=4(
x
+
4
x
)-1≥4•2
4
-1=15∴当
x
=
4
x
，即x=4时，F（x）min=15（4分）
（2）F(x)=
ag(x)-f(x)
f(x)
=
a(x+a)-
x
x
=a(
x
+
a
x
)-1，x∈[1，4]（6分）
设t=
x
，则F(x)=a(t+
a
t
)-1，t∈[1，2]，令h(t)=a(t+
a
t
)∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+
a
x
的单调性知
a
＞2
h(t)min=h(2)＞2
或
1≤
a
≤2
h(t)min=h(
a
)＞2
或
0＜
a
＜1
h(t)min=h(1)＞2
a＞4
a(2+
a
2
)＞2
或
1≤a≤4
2a
a
＞2
或
0＜a＜1
a(1+a)＞2
，解得a＞1（12分）
练习册系列答案
相关题目

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若数学公式，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间数学公式上的值域为数学公式，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知f（x）,y（x）的定义域都是R，则“x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（　　）

A.有一个x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有无数多个x∈R,使f（x）＞g（x）

C.对R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

已知f（x）,y（x）的定义域都是R，则“x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（　　）

A.有一个x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有无数多个x∈R,使f（x）＞g（x）

C.对R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x+t-2)(a>0，a≠1，t∈R)．
(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)-f(x)有最小值2时，求a的值；
(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．

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