Question

20．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到我市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表

时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量x（万辆）	59	55	52	51	58
PM2.5的浓度平均值y（微克/立方米）	81	67	66	59	77

（Ⅰ）根据表中数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，35]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（35，75]内，空气质量等级为良．为使我国某日空气质量等级为优或良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果保留整数）
附：线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$的回归系数$\widehat{b}$和$\widehat{a}$，可得y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）根据题中信息，解不等式2.42x-63.1≤75，可得x的估计值，进而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）根据已知数据，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（59+55+52+51+58）=55，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（81+67+66+59+77）=70，…（4分）
x_i-$\overline{x}$，y_i-$\overline{y}$的取值情况如下表：

xi-$\overline{x}$	4	0	-3	-4	3
yi-$\overline{y}$	11	-3	-4	-11	7

∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{4×11+0×（-3）+（-3）×（-4）+（-4）×（-11）+3×7}{16+0+9+16+9}$=2.42，…（8分）
∴$\hat{a}$=$\overline{y}$-2.42$\overline{x}$=-63.1，
∴线性回归方程为$\hat{y}$=2.42x-63.1．…（10分）
（Ⅱ）根据题中信息，解不等式2.42x-63.1≤75，得x≤57.066，
∴为使我市某天空气质量等级为优或良，应控制当天车流量在57万辆以内．…（12分）

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法，用最小二乘法求回归系数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．