Question

已知A，B为抛物线y²=2x上两动点，O为坐标原点且OA⊥OB，若直线AB的倾斜角为135°，则S_△AOB=

2

5

．

Answer 1

分析：设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，进而根据直线方程求得|y₁-y₂|，利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得m，代入三角形面积公式求得答案．

解答：解：设直线AB的方程为y=x-m，
联立

y2=2x y=x-m

，得x²-（2m+2）x+m²=0，
则x₁+x₂=2m+2，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=

(2m+2)2-4m2

=

8m+4

，
∵三角形的面积为S_△AOB=|

1

2

my₁-

1

2

my₂|=

1

2

m（|x₁-x₂|）=

1

2

m•

8m+4

；
又因为OA⊥OB，设A（x₁，

2x1

），B（x₂，-

2x2

），
所以x₁x₂-2

x1x2

=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍），或m=2，
代入上式可得S_△AOB=

1

2

m•

8m+4

=

1

2

×2×

8×2+4

=2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．