Question

已知函数相邻的两个最高点和最低点分别为
（Ⅰ）求函数表达式；
（Ⅱ）求该函数的单调递减区间；
（Ⅲ）求时，该函数的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数相邻的两个最高点和最低点分别为，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将代入解析式，结合，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
（II）由2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，求出自变量的取值范围，可得函数的单调递减区间；
（Ⅲ）由，求出相位角2x+的取值范围，进而根据正弦函数的图象求出最值，可得函数的值域．
解答：解：（I）由函数图象相邻的两个最高点和最低点分别为
∵A＞0
∴A=2
∵==，ω＞0
∴ω=2
∴y=2sin（2x+φ）
将代入y=2sin（2x+φ）得sin（+φ）=1
即+φ=+2kπ，k∈Z
即φ=+2kπ，k∈Z
∵
∴
∴函数表达式为2sin（2x+）
（II）由2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，得
x∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，
（III）当时，
2x+∈[，]
当2x+=，即x=时，函数取最大值2
当2x+=时，即x=时，函数取最小值-1
∴函数的值域为[-1，2]
点评：本题考查的知识点是正弦型函数的解析式求法，正弦型函数的单调区间，正弦型函数在定区间上的值域，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．