Question

对于数列{a_n}，定义其平均数是，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n}的平均数V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为V_n，对一切n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为，所以．变形得 ，由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为，其平均数．由对一切n∈N^*恒成立，即恒成立．令，则，由此能求出实数t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为，
所以．
变形得 ，①（2分）
当n≥2时有  ②
①-②得a_n=4n-1（n≥2）．（5分）
又当n=1时，V₁=a₁=2×1+1=3，
适合a_n=4n-1．（6分）
故a_n=4n-1（n∈N^*）．（7分）
（Ⅱ）因为，
其平均数．（9分）
由已知对一切n∈N^*恒成立，即恒成立．
令，
则，
当n=1时，，
当n＞1，n∈N^*时，，
所以f（n）≥f（1）=2，
因此实数t的取值范围t≤2．（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．