题目内容

已知a₁=0，a_n+1=ca_n+ $数学公式$ ，c≠0，n∈N^．
（I ）求数列{a_n}的通项：
（II）若对任意，n∈N^，a_n+1＞a_n恒成立，求c的取值范围．

解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0+1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
∴a_n= $\text{[math]}$ cⁿ．（6分）
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即 $\text{[math]}$ cⁿ⁺¹＞ $\text{[math]}$ cⁿ．
当c＜0时，上面不等式显然不恒成立；
当c＞0时，上面不等式等价于c＞ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．（9分）
1- $\text{[math]}$ 是n的增函数， $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）=1，∴c≥1．
综上，c的取值范围是c≥1．（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1=ca_n+ $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0+1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}的通项．
（Ⅱ）a_n+1＞a_n即 $\text{[math]}$ cⁿ⁺¹＞ $\text{[math]}$ cⁿ．当c＜0时，上面不等式显然不恒成立；当c＞0时，上面不等式等价于c＞ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，由此能求出c的取值范围．
点评：本题考查利用累加法求解函数的通项公式和借助极限知识求解参数的取值范围，解题时要注意合理地进行等价转化．