Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.（0， ]
B.（0， ]
C.[ ，1）
D.[ ，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，

∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．

取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于 ，∴ ，解得b≥1．

∴e= = ≤ = ．

∴椭圆E的离心率的取值范围是 ．

故答案为：A．

利用椭圆的定义可得a=2，再根据点到直线的距离公式得到, 解得b≥1.进而e= =，故得离心率的取值范围。