Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，直线y=

1

2

x+1与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

．求椭圆的方程．

Answer 1

分析：由e=

3

2

，则a²=4b²，将y=

1

2

x+1代入上式，消去y整理可得x²+2x+2-2b²=0（*），则△=4-4（2-b²）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则由

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得

x= 1 2 (x1+ 3 x2) y= 1 2 (y1+ 3 y2)

，M在椭圆上代入结合（*）可求椭圆的方程

解答：解：由e=

3

2

，则a²=4b²，椭圆可以转化为：x²+4y²=4b²
将y=

1

2

x+1代入上式，消去y，得：x²+2x+2-2b²=0
直线y=

1

2

x+1与椭圆相交有两个不同的点A，B
则△=4-4（2-b²）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
则

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得

x= 1 2 (x1+ 3 x2) y= 1 2 (y1+ 3 y2)

又因为M在椭圆上，所以

(x1+ 3 x2)2

4

+( y1+

3

y2)2 =4b2
代入整理可得，x₁x₂+4y₁y₂=0
所以，x1x2+4(1+

1

2

x1)(1+

1

2

 x2)=0
x₁x₂+x₁+x₂+2=0
因为，x₁+x₂=-2，x₁x₂=2-2b²，所以b²=1
所以

x2

4

+y2=1

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线域椭圆上的相交的位置关系的应用，方程思想的应用，属于基础知识的应用．