Question

一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积.

(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁？如何组拼？试证明你的结论.

(3)在(2)的情形下,设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E,求面AB₁E与面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

解:(1)该几何体的直观图如图(1)所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形,高为CC₁=6,故所求体积是V=×6²×6=72.

(1)

(2)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,其拼法如图(2)所示.

(2)

证明:∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D为全等的正方形,

于是==.

故所拼图形成立.

(3)方法一:设B₁E,BC的延长线交于点G,连结GA,在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H,连结HB₁,则B₁H⊥AG,故∠B₁HB为平面AB₁E与平      面ABC所成二面角或其补角的平面角.

在Rt△ABG中,AG=,则BH==,

B₁H==,cos∠B₁HB==,

故面AB₁E与面ABC所成二面角的余弦值为.

方法二:以C为原点,CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图(3)),

(3)

∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B₁(0,6,6),A(6,6,0).

设向量n=(x,y,z),满足n⊥EB₁,n⊥AB₁,

于是解得

取z=2,得n=(2,-1,2).又=(0,0,6),cos〈n,〉===,

根据图形:面AB₁E与面ABC所成二面角的余弦值为.