Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点，
求证：(1)AE∥平面PBC；
(2)PD⊥平面ACE。

Answer 1

(1)如图，取PC中点F，连接EF，BF， ∵E为PD的中点， ∴EF∥DC且EF=DC， ∵AB∥DC且AB=DC， ∴EF∥AB 且EF=AB， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AE∥BF， ∵AE平面PBC，BF平面PBC， ∴AE∥平面PBC。
(2)∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B， ∴AC⊥平面PBD， ∵PD平面PBD， ∴AC⊥PD， ∵AP=AD，E为PD的中点， ∴PD⊥AE， ∵AE∩AC=A， ∴PD⊥平面ACE。