题目内容
设函数
且
其中
为自然对数的底数。
（Ⅰ）求
与
的关系；（Ⅱ）若
在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（Ⅲ）设
，若在
上至少存在一点
，使
成立。求实
数的取值范围。
（文）解(1)设
则
由
得
即
（2分）
于是
的中点
的坐标为
当不与
轴垂直时 
∵
在双曲线上 ∴
① 
②
①-②得
∴
（4分） ∵
∴
化简得
当与轴垂直时，
求得
也满足上述方程 ∴点
的轨迹方程是 （6分）
(2)假设在轴上存在定点
,使
为常数.
当不与轴垂直时设的方程为
,
代入
有
则
于是
（10分）
因为是与
无关常数,所以
即
此时
当与轴垂直时点
， 点
此时故在轴上存在定点,使为常数. （12分）
（理）解：（1）由题意得
∴
而
∴
即
（3分）
（2）由（1）知
，令
（5分）
要使
在
内单调，只需
在内，满足
或
恒成立
① 当
时，合题意
②当
时，
只需
即
，合题意
③当
时，只需
即
，合题意。
综上所述，
的范围为或。 （7分）
（3）∵
在
上是减函数。 ∴
∴
①当时，由（2）知在上递减，
不合题意
②当
时，由
∴
由（2）知当
在上增函数。∴
不合题意
③当时，由（2）知，在上增函数。
又∵
在上是减函数，故只需
（9分）
而
∴
解得
综上的取值范围
（12分）
＋
，g（x）＝
ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）
}中，a1＝1，
）（n≥2），求证：
＜
＜
．
，
，（其中
为自然底数）；
（
）的最小值；
使得
且
对一切
中，
，
，求证：
。已知函数
其中
为自然对数的底数，
.(Ⅰ)设
，求函数
的最值；（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求
的取值范围.
【解析】第一问中，当
时，
，
．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。
第二问中，∵
，
，
∴原不等式等价于：
,
即
, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解：（Ⅰ)当时，，．
当在
上变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
1／e |
∴
时，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等价于：
,
即, 亦即．
∴对于任意的
，原不等式恒成立,等价于对
恒成立,
∵对于任意的时, 
（当且仅当
时取等号）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范围是