Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₁=1，公比为q且满足b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求数列{a_n}和 {b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n-b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）分别利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q，等差数列的公差d，即可求解
（II）根据（1）中数列{a_n}和 {b_n}的通项公式，利用拆项法结合等差数列的等比数列的前n项和公式，可得答案．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，
∴

1+q+a1+a2=12 q= a1+a2 1•q

即

q+6+d=12 q2=6+d

解得

d=3 q=3

∴a_n=3+（n-1）•3=3n，b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（II）由（I）得数列{a_n-b_n}的前n项和T_n满足
T_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=3n+

n(n-1)

2

×3-

1-3n

1-3

=

3n2+3n-3n+1

2

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式，考查方程思想与运算能力，属于中档题．