Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意n∈N^*都有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2 anan+1

．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

=

an+1 an

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，

1

a1

=

1

2 a1a2

；得a2=

1

4

1

a1

+

1

a2

=

1

2 a2a3

．由此可知a3=

1

9

．
（Ⅱ）由题意知

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1

2 anan+1

，

1

a1

+

1

a2

++

1

an-1

=

1

2 an-1an

，

1

an+1

-

1

an-1

  =2，由此可知an=

1

n2

．
（Ⅲ）由题意知

a1a2

+

a2a3

++

anan+1

═

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，由此可知

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

=

an+1 an

（n∈N^*）．

解答：解：（Ⅰ）由已知，

1

a1

=

1

2 a1a2

；得a2=

1

4

1

a1

+

1

a2

=

1

2 a2a3

；得a3=

1

9

（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1

2 anan+1

；①

1

a1

+

1

a2

++

1

an-1

=

1

2 an-1an

；②
①-②得：

1

an

=

1

2 anan+1

-

1

2 an-1an

；（4分）
∴

1

an+1

-

1

an-1

  =2
∴数列{

1

a2n-1

}，?{

1

a2n

}皆为等差数列（6分）
∴

1

a2n-1

=

1

a1

+(n-1)•2=2n-1

1

a2n

=

1

a2

+(n-1)•2=2n（8分）
综上，

1

an

=n，
∴an=

1

n2

．（9分）
（Ⅲ）

a1a2

+

a2a3

++

anan+1

═

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（12分）

an+1 an

=

n2 (n+1)2

=

n

n+1

∴等式成立．（14分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．