Question

已知函数f(x)=5sinxcosx-5

3

cos2x+

5 3

2

；
（Ⅰ）确定函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合．

Answer 1

分析：先利用倍角公式和两角和差的正弦公式把f（x）化为一个角的正弦的形式．（Ⅰ）利用正弦函数的单调性即可得出；（Ⅱ）利用正弦函数取得最大值时x集合即可得出．

解答：解：f(x)=

5

2

sin2x-

5 3

2

(1+cos2x)+

5 3

2

=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x=5(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)=5sin(2x-

π

3

)． 
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，(k∈Z)． 
（Ⅱ）当2x-

π

3

=

π

2

+2kπ，即{x|x=kπ+

5π

12

，k∈Z}时，f（x）有最大值5．

点评：熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦函数取得最大值时x集合是解题的关键．